Question

17．已知x，y满足不等式组$\left\{\begin{array}{l}{5x+3y≤15}\\{y≤x+1}\\{x-5y≤3}\end{array}\right.$，求z=3x+5y的最大值和最小值．

Answer 1

分析 作出不等式组对应的平面区域，根据z的几何意义，利用数形结合即可得到最大值和最小值．

解答 解：不等式组对应的平面区域如图：
由z=3x+5y得y=$-\frac{3}{5}$$x+\frac{z}{5}$，
平移直线y=$-\frac{3}{5}$$x+\frac{z}{5}$，则由图象可知当直线y=$-\frac{3}{5}$$x+\frac{z}{5}$经过点A时直线y=$-\frac{3}{5}$$x+\frac{z}{5}$的截距最大，
此时z最大，当经过点B时，直线的截距最小，此时z最小．
由$\left\{\begin{array}{l}{y=x+1}\\{5x+3y=15}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{3}{2}}\\{y=\frac{5}{2}}\end{array}\right.$，即A（$\frac{3}{2}$，$\frac{5}{2}$），
此时最大值z=3×$\frac{3}{2}$+5×$\frac{5}{2}$=17，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=x+1}\\{x-5y=3}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=-2}\\{y=-1}\end{array}\right.$，即B（-2，-1），
此时最小值z=3×（-2）+5×（-1）=-11．

点评 本题主要考查线性规划的应用，根据z的几何意义，利用数形结合是解决本题的关键．