Question

6．东南花都某花卉展区拟设计一个边界用篱笆围成的扇形花圃．
（Ⅰ）若花圃的设计面积为36m²，则扇形的半径为多少米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是多少米？
（Ⅱ）现有一段36m的篱笆用来围成这个花圃，问扇形的半径应设计为多少米时，花圃的面积最大？最大面积是多少？

Answer 1

分析 （Ⅰ）设出半径和弧长，表示出面积和周长，结合基本不等式的性质，从而得到答案；
（Ⅱ）分别表示出周长和面积，（法一）根据基本不等式的性质，求出结果即可，（法二：根据二次函数的性质求出即可．

解答 解：（Ⅰ）设扇形的半径为r米，弧长为l米，
则扇形的面积S=$\frac{1}{2}$lr=36，扇形的周长C=2r+l≥2$\sqrt{2lr}$=24，
当且仅当l=2r，即r²=36，r=6时等号成立，C取得最小值24，
∴当扇形的半径为6米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是24米；
（Ⅱ）法一：∵扇形的周长c₁=2r+l=36，
∴扇形的面积s₁=$\frac{1}{2}$lr=$\frac{1}{4}$•2r•l≤$\frac{1}{4}$${（\frac{2r+l}{2}）}^{2}$=$\frac{1}{4}$${（\frac{36}{2}）}^{2}$=81，
当且仅当l=2r，即r=9时“=”成立，s₁取得最大值81，
∴当扇形的半径为9m时，花圃的面积最大，最大面积是81m²，
法二：：∵扇形的周长c₁=2r+l=36，
∴扇形的面积s₁=$\frac{1}{2}$lr=$\frac{1}{2}$•（36-2r）•r=18r-r²（r-9）²+81，
∴当r=9时，s₁ 取得最大值为81，
∴当扇形的半径为9m时，花圃的面积最大，最大面积是81m²．

点评 本题考查了基本不等式的性质，考查二次函数的性质，是一道中档题．