Question

已知函数f（x）=kx，g（x）=

lnx

x

，如果关于x的方程f（x）=g（x）在区间[

1

e

，e]内有两个实数解，那么实数k的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：函数的零点

专题：函数的性质及应用

分析：将方程的解的个数问题转化为函数的图象的交点个数问题；通过导数研究函数的单调性及极值；通过对k与函数h（x）的极值的大小关系的讨论得到结论．

解答： 解：由f（x）=g（x），
∴kx=

lnx

x

，
∴k=

lnx

x2

，
令h（x）=

lnx

x2

，
∵方程f（x）=g（x）在区间[

1

e

，e]内有两个实数解，
∴h（x）=

lnx

x2

在[

1

e

，e]内的图象与直线y=k有两个交点．
∴h′（x）=

1-2lnx

x3

，
令h′（x）=

1-2lnx

x3

=0，则x=

e

，
当x∈[

1

e

，

e

]内h′（x）＞0，当x∈[

e

，e]内h′（x）＜0，
当x=

e

，h（x）=

1

2e

，当x=e时，h（e）=

1

e2

，当x=

1

e

，h（x）=-e²，
故当k∈[

1

e2

，

1

2e

）时，该方程有两个解．
故答案为：[

1

e2

，

1

2e

）

点评：本题考查通过导函数研究函数的单调性、求函数的极值、求函数交点的个数，