Question

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a=2

6

，sinA=

2 2

3

，

AB

•

AC

=-3
（Ⅰ）求b和c，
（Ⅱ）求sin（A-B）的值．

Answer 1

考点：三角形中的几何计算,两角和与差的正弦函数

专题：解三角形

分析：（Ⅰ）由条件利用余弦定理、两个向量的数量积的定义，分别得到一个等式，列方程组求得b、c的值．
（Ⅱ）由条件利用正弦定理求得sinB 的值，再利用同角三角函数的基本关系求出cosB的值，再利用两角差的正弦公式求得 sin（A-B）的值．

解答： 解：（Ⅰ）△ABC中，∵sinA=

2 2

3

，

AB

•

AC

=-3，可得A为钝角，故cosA=-

1

3

，且bc•（-

1

3

）=-3 ①．
再根据a=2

6

，利用余弦定理可得 a²=24=b²+c²+

2bc

3

=（b+c）²-

4bc

3

 ②．
由①②求得b=c=3，
（Ⅱ）由b=c=3，a=2

6

，可得B=C，再由正弦定理可得

b

sinB

=

a

sinA

，即

3

sinB

=

2 6

2 2 3

，
求得sinB=

3

3

，∴cosB=

6

3

，
∴sin（A-B）=sinAcosB-cosAsinB=

2 2

3

•

6

3

-（-

1

3

）•

3

3

=

5 3

9

．

点评：本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用，同角三角函数的基本关系，两角差的正弦公式，两个向量的数量积的定义，属于基础题．