Question

1．已知函数f（x）=|ln||x-1||，f（x）-m的四个零点x₁，x₂，x₃，x₄，且k=$\frac{1}{{x}_{1}}$+$\frac{1}{{x}_{2}}$+$\frac{1}{{x}_{3}}$+$\frac{1}{{x}_{4}}$，则f（k）-e^k的值是-e²．

Answer 1

分析 利用对数的运算性质可得出$\frac{1}{{x}_{1}}$+$\frac{1}{{x}_{2}}$=$\frac{1}{{x}_{3}}$+$\frac{1}{{x}_{4}}$=1，从而k=2，代入计算即可．

解答 解：显然f（x）的图象关于直线x=1对称，
不妨设x₁＜x₂＜x₃＜x₄，则x₁＜x₂＜1＜x₃＜x₄，
∵f（x₁）=f（x₂），
∴ln（1-x₁）=-ln（1-x₂），
即1-x₁=$\frac{1}{1-{x}_{2}}$，整理得x₁x₂=x₁+x₂，
∴$\frac{1}{{x}_{1}}$+$\frac{1}{{x}_{2}}$=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$=1，
同理有：$\frac{1}{{x}_{3}}$+$\frac{1}{{x}_{4}}$=1，
∴k=$\frac{1}{{x}_{1}}$+$\frac{1}{{x}_{2}}$+$\frac{1}{{x}_{3}}$+$\frac{1}{{x}_{4}}$=2，
∴f（k）-e^k=f（2）-e²=-e²．
故答案为：-e²．

点评 本题考查了对数的运算性质，属于中档题．