Question

对一块边长为1的正方形进行如下操作：第一步，将它分割成3×3方格，接着用中心和四个角的5个小正方形，构成如图①所示的几何图形，其面积S₁=

5

9

；第二步，将图①的5个小正方形中的每个小正方形都进行与第一步相同的操作，得到图②；依此类推，到第n步，所得图形的面积S_n=（

5

9

）ⁿ．若将以上操作类比推广到棱长为1的正方体中，则
（Ⅰ）当n=1时，所得几何体的体积V₁=

 

．
（Ⅱ）到第n步时，所得几何体的体积V_n=

 

．

Answer 1

考点：归纳推理

专题：推理和证明

分析：类比正方形求面积，可得正方体求体积，得出所有体积构成以

1

3

为首项，

1

3

为公比的等比数列，从而可得结论．

解答： 解：推广到棱长为1的正方体中，
第一步，将它分割成3×3×3个正方体，其中心和八个角的9个小正方体，其体积为

9

27

=

1

3

，
第二步，执行同样的操作，其体积为（

1

3

）²，
…
依此类推，到第n步，所有体积构成以

1

3

为首项，

1

3

为公比的等比数列，
∴到第n步，所得几何体的体积V_n=（

1

3

）ⁿ=

1

3n

，
故答案为

1

3

，

1

3n

点评：本题考查数列递推式，考查数列通项的求解，解题的关键是得出所有体积构成以

1

3

为首项，

1

3

为公比的等比数列．