Question

【题目】设函数．

（Ⅰ）证明：当时，；

（Ⅱ）设当时，，求实数的取值范围．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）

【解析】

试题（Ⅰ）在证明不等式时一般可以通过等价变形将要证明的不等式简化，本题中注意到时，，于是有，即令只需证明即可；（Ⅱ）由时，恒成立，故.

设，，．

设，，则.当，即时，，时，，，故.所以单调递增，，故单调递增，恒成立，符合题意.当，即时，存在，时，，单调递减，，与恒成立矛盾.

试题解析：（Ⅰ）证明：注意到时，，

于是有，即.

令，．，令，得．

当变化时，的变化情况如下表：

可见在上单调递减，在上单调递增，所以当时，

，故当时，，即，从而，且当且仅当时等号成立．

（Ⅱ）解：由时，恒成立，故.

设，，

则．

设，，

则.

当，即时，，时，，，故.

所以单调递增，，故单调递增，恒成立，符合题意.

当，即时，存在，时，，单调递减，，与恒成立矛盾.

综合上述得实数的取值范围是．