Question

【题目】已知函数，（为自然对数的底数）.

（1）求曲线在处的切线的方程；

（2）若对于任意实数，恒成立，试确定的取值范围；

（3）当时，函数在上是否存在极值？若存在，请求出极值；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）

（2）

（3）不存在,理由见解析

【解析】

(1) 求得的导数，可得切线的斜率和切点，由点斜式方程可得切线的方程;

(2) 讨论和，由参数分离和构造函数,求出导数，单调区间，可得最值，进而

得到所求的范围;

(3)依题意,，求出导数，可令， 求得导数和单调区间、可得最值，进而得到M(x)的单调性，即可判断存在性.

（1），.

在处的切线斜率为，

∴切线的方程为，即.

（2）∵对于任意实数，恒成立，

∴若，则为任意实数时，恒成立；

若，恒成立，即，在上恒成立，

设，则，

当时，，则在上单调递增；

当时，，则在上单调递减；

所以当时，取得最大值，，

所以的取值范围为.

综上，对于任意实数，恒成立的实数的取值范围为.

（3）依题意，，所以，

设，则，当，

故在上单调增函数，因此在上的最小值为，

即，又，所以在上，

，即在上不存在极值.