Question

13．方程lgx+x-3=0一定有解的区间是（　　）

• A． （2，3）
• B． （1，2）
• C． （0，1）
• D． （3，4）

Answer 1

分析 方法一：在同一平面直角坐标系中，画出函数y=lgx与y=-x+3的图象．它们的交点横坐标x₀，显然在区间（1，3）内，由于画图精确性的限制，单凭直观就比较困难了．实际上这是要比较x₀与2的大小．当x=2时，lgx=lg2，3-x=1．由于lg2＜1，因此x₀＞2，从而得到答案．
方法二：利用根的存在性定理进行判断即可．

解答 解：方法一：lgx+x-3=0可化为：lgx=-x+3，
在同一平面直角坐标系中，画出函数y=lgx与y=-x+3的图象．
它们的交点横坐标x₀．
当x=2时，lgx=lg2，3-x=1．
∵lg2＜1=lg10，
∴x₀＞2，
从而判定x₀∈（2，3）．
方法二：因为f（2）=lg2+2-3=lg2-1=lg2-lg10＜0，
f（3）=lg3+3-3=lg3＞0，
所以根据根的存在性定理可知，函数f（x）在区间（2，3）内存在零点，
所以方程lgx+x-3=的根x₀所在的区间为（2，3）．
故选：A

点评 本题主要考查了函数的零点与方程根的关系，考查通过构造函数用数形结合法求方程lgx+x-3=0解所在的区间．数形结合，要在结合方面下功夫．不仅要通过图象直观估计，而且还要计算x₀的邻近两个函数值，通过比较其大小进行判断．