Question

【题目】如图，已知抛物线： 与圆： （）相交于、、、四个点．

（Ⅰ）求的取值范围；

（Ⅱ）当四边形的面积最大时，求对角线、的交点的坐标．

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】（Ⅰ）将抛物线代入圆的方程，消去，整理得．．．．．．．．．．．．．（1）

抛物线与圆相交于、、、四个点的充要条件是：方程（1）有两个不相等的正根

∴即{解这个不等式组得.

（II） 设四个交点的坐标分别为、、、。则直线AC、BD的方程分别为

解得点P的坐标为。则由（I）根据韦达定理有， 由于四边形ABCD为等腰梯形，因而其面积

令，则下面求的最大值。

方法1：由三次均值有：

当且仅当，即时取最大值。经检验此时满足题意。故所求的点P的坐标为

法2：令，，

∴，

令得，或（舍去）

当时，；当时；当时，

故当且仅当时，有最大值，即四边形ABCD的面积最大，故所求的点P的坐标为