Question

已知函数f（x）=

|lgx|，x＞0 x+7，x≤0

，若关于x的方程f（x²+2x）=a有6个不相等的实根，则实数a的取值范围是（　　）

• A、（0，6]
• B、（0，7]
• C、（6，7]
• D、（6，7）

Answer 1

考点：根的存在性及根的个数判断,函数的零点与方程根的关系

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：由于本题是分段函数，要注意讨论x²+2x的范围．

解答： 解：∵f（x²+2x）=a，
∴|lg（x²+2x）|=a（x²+2x＞0）或x²+2x+7=a（x²+2x≤0），
∴x²+2x-10^a=0或x²+2x-10^-a=0或x²+2x+7-a=0（7-a≥0）
若关于x的方程f（x²+2x）=a有6个不相等的实根，
则上述三个方程都有两个不同的根，且方程之间也没有同根；
方程x²+2x-10^a=0和x²+2x-10^-a=0显然都有两个不同的根，
方程x²+2x+7-a=0有两个不同的根，
则△=4-4（7-a）＞0（a≤7）
解得，6＜a≤7．
∵两个方程的二次项系数及一次项系数相同，但常数项互不相同，
∴三个方程也没有相同的根，
则有6个根．
故选C．

点评：本题考查了根的个数的判断，注意综合分析．