【题目】如图所示,在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,∠ABC=90°,BC=CC1 , M、N分别为BB1、A1C1的中点.
(Ⅰ)求证:CB1⊥平面ABC1;
(Ⅱ)求证:MN∥平面ABC1 .
【答案】解:(Ⅰ)在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,
侧面BB1C1C⊥底面ABC,且侧面BB1C1C∩底面ABC=BC,
∵∠ABC=90°,即AB⊥BC,
∴AB⊥平面BB1C1
∵CB1平面BB1C1C,∴AB⊥CB1.
∵BC=CC1,CC1⊥BC,∴BCC1B1是正方形,
∴CB1⊥BC1,
∵AB∩BC1=B,∴CB1⊥平面ABC1.
(Ⅱ)取AC1的中点F,连BF、NF.
在△AA1C1中,N、F是中点,
∴NF AA1,
又∵正方形BCC1B1中BM AA1,
∴NF∥BM,且NF=BM
故四边形BMNF是平行四边形,可得MN∥BF,
∵BF面ABC1,MN平面ABC1,
∴MN∥面ABC1
【解析】(I)根据直三棱柱的性质,利用面面垂直性质定理证出AB⊥平面BB1C1,得出AB⊥CB1.正方形BCC1B1中,对角线CB1⊥BC1,由线面垂直的判定定理可证出CB1⊥平面ABC1;(II)取AC1的中点F,连BF、NF,利用三角形中位线定理和平行四边形的性质,证出EF∥BM且EF=BM,从而得到BMNF是平行四边形,可得MN∥BF,结合线面平行判定定理即可证出MN∥面ABC1.
【考点精析】关于本题考查的直线与平面平行的判定和直线与平面垂直的判定,需要了解平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,则该直线与此平面平行;简记为:线线平行,则线面平行;一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线与此平面垂直;注意点:a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视;b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想才能得出正确答案.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】近年空气质量逐步恶化,雾霾天气现象出现增多,大气污染危害加重,大气污染可引起心悸、呼吸困难等心肺疾病,为了解某市心肺疾病是否与性别有关,在某医院随机的对入院50人进行了问卷调查,得到如下的列联表.
患心肺疾病 | 不患心肺疾病 | 合计 | |
男 | 5 | ||
女 | 10 | ||
合计 | 50 |
已知在全部50人中随机抽取1人,抽到患心肺疾病的人的概率为 ,
(1)请将上面的列联表补充完整;
(2)是否有99.5%的把握认为患心肺疾病与性别有关?说明你的理由;
(3)已知在患心肺疾病的10位女性中,有3位又患有胃病,现在从患心肺疾病的10位女性中,选出3名进行其它方面的排查,记选出患胃病的女性人数为ξ,求ξ的分布列、数学期望以及方差.
下面的临界值表仅供参考:
P(K2≥k) | 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
K | 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】在平面直角坐标系中,O为坐标原点,A,B,C三点满足 =
+
. (Ⅰ)求证:A,B,C三点共线;
(Ⅱ)已知A(1,cosx),B(1+sinx,cosx),x∈[0, ],f(x)=
﹣(2m2+
)|
|的最小值为
,求实数m的值.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】如图,A,B,C的坐标分别为(﹣ ,0),(
,0),(m,n),G,O′,H分别为△ABC的重心,外心,垂心.
(1)写出重心G的坐标;
(2)求外心O′,垂心H的坐标;
(3)求证:G,H,O′三点共线,且满足|GH|=2|OG′|.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知点A(﹣2,0),B(2,0),P(x0 , y0)是直线y=x+3上任意一点,以A,B为焦点的椭圆过P,记椭圆离心率e关于x0的函数为e(x0),那么下列结论正确的是( )
A.e与x0一一对应
B.函数e(x0)无最小值,有最大值
C.函数e(x0)是增函数
D.函数e(x0)有最小值,无最大值
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知函数f(x)= ax2﹣(2a+1)x+2lnx(a∈R). (Ⅰ)若曲线y=f(x)在x=1和x=3处的切线互相平行,求a的值;
(Ⅱ)求f(x)的单调区间;
(Ⅲ)设g(x)=x2﹣2x,若对任意x1∈(0,2],均存在x2∈(0,2],使得f(x1)<g(x2),求a的取值范围.
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