【题目】已知函数f(x)= ax2﹣(2a+1)x+2lnx(a∈R). (Ⅰ)若曲线y=f(x)在x=1和x=3处的切线互相平行,求a的值;
(Ⅱ)求f(x)的单调区间;
(Ⅲ)设g(x)=x2﹣2x,若对任意x1∈(0,2],均存在x2∈(0,2],使得f(x1)<g(x2),求a的取值范围.
【答案】解:(Ⅰ)∵函数 , ∴
(x>0).
∵曲线y=f(x)在x=1和x=3处的切线互相平行,
∴f'(1)=f'(3),
即 ,
解得 .
(Ⅱ) (x>0).
①当a≤0时,x>0,ax﹣1<0,
在区间(0,2)上,f'(x)>0;
在区间(2,+∞)上f'(x)<0,
故f(x)的单调递增区间是(0,2),
单调递减区间是(2,+∞).
②当 时,
,
在区间(0,2)和 上,f'(x)>0;
在区间 上f'(x)<0,
故f(x)的单调递增区间是(0,2)和 ,单调递减区间是
③当 时,
,故f(x)的单调递增区间是(0,+∞).
④当 时,
,在区间
和(2,+∞)上,f'(x)>0;
在区间 上f'(x)<0,
故f(x)的单调递增区间是 和(2,+∞),单调递减区间是
.
(Ⅲ)由已知,在(0,2]上有f(x)max<g(x)max .
由已知,g(x)max=0,由(Ⅱ)可知,
①当 时,f(x)在(0,2]上单调递增,
故f(x)max=f(2)=2a﹣2(2a+1)+2ln2=﹣2a﹣2+2ln2,
所以,﹣2a﹣2+2ln2<0,解得a>ln2﹣1,
故 .
②当 时,f(x)在
上单调递增,
在 上单调递减,
故 .
由 可知
,
2lna>﹣2,﹣2lna<2,
所以,﹣2﹣2lna<0,f(x)max<0,
综上所述,a>ln2﹣1.
【解析】(Ⅰ)由函数 ,知
(x>0).由曲线y=f(x)在x=1和x=3处的切线互相平行,能求出a的值.(Ⅱ)
(x>0).根据a的取值范围进行分类讨论能求出f(x)的单调区间.(Ⅲ)对任意x1∈(0,2],均存在x2∈(0,2],使得f(x1)<g(x2),等价于在(0,2]上有f(x)max<g(x)max . 由此能求出a的取值范围.
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【题目】如图所示,在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,∠ABC=90°,BC=CC1 , M、N分别为BB1、A1C1的中点.
(Ⅰ)求证:CB1⊥平面ABC1;
(Ⅱ)求证:MN∥平面ABC1 .
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【题目】设椭圆 的左、右焦点分别为F1 , F2 , 离心率为e,过F2的直线与椭圆的交于A,B两点,若△F1AB是以A为顶点的等腰直角三角形,则e2=( )
A.3﹣2
B.5﹣3
C.9﹣6
D.6﹣4
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【题目】设定义在R上的函数f(x)是最小正周期2π的偶函数,f′(x)是函数f(x)的导函数,当x∈[0,π]时,0<f(x)<1;当x∈(0,π),且x≠ 时,(x﹣
)f′(x)>0,则函数y=f(x)﹣sinx在[﹣2π,2π]上的零点个数为( )
A.2
B.4
C.5
D.8
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【题目】已知函数g(x)=ax2﹣2ax+1+b(a≠0,b<1),在区间[2,3]上有最大值4,最小值1,设f(x)= .
(1)求a,b的值;
(2)不等式f(2x)﹣k2x≥0在x∈[﹣1,1]上恒成立,求实数k的取值范围;
(3)方程f(|2x﹣1|)+k( ﹣3)有三个不同的实数解,求实数k的取值范围.
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【题目】已知函数f(x)=x2+2bx+c,且f(1)=f(3)=﹣1.设a>0,将函数f(x)的图象先向右平移a个单位长度,再向下平移a2个单位长度,得到函数g(x)的图象. (Ⅰ)若函数g(x)有两个零点x1 , x2 , 且x1<4<x2 , 求实数a的取值范围;
(Ⅱ)设连续函数在区间[m,n]上的值域为[λ,μ],若有 ,则称该函数为“陡峭函数”.若函数g(x)在区间[a,2a]上为“陡峭函数”,求实数a的取值范围.
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【题目】已知抛物线C:y2=4x,过焦点F作与x轴垂直的直线l1 , C上任意一点P(x0 , y0)(y0≠0)处的切线为l,l与l1交于M,l与准线交于N,则 = .
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【题目】在△ABC中,角A,B,C对应的边分别是a,b,c,已知cos2A﹣3cos(B+C)=1. (Ⅰ)求角A的大小;
(Ⅱ)若△ABC的面积S=5 ,b=5,求sinBsinC的值.
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