Question

【题目】已知函数f（x）= ax2﹣（2a+1）x+2lnx（a∈R）． （Ⅰ）若曲线y=f（x）在x=1和x=3处的切线互相平行，求a的值；
（Ⅱ）求f（x）的单调区间；
（Ⅲ）设g（x）=x2﹣2x，若对任意x1∈（0，2]，均存在x2∈（0，2]，使得f（x1）＜g（x2），求a的取值范围．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）∵函数 ， ∴ （x＞0）．
∵曲线y=f（x）在x=1和x=3处的切线互相平行，
∴f'（1）=f'（3），
即 ，
解得 ．
（Ⅱ） （x＞0）．
①当a≤0时，x＞0，ax﹣1＜0，
在区间（0，2）上，f'（x）＞0；
在区间（2，+∞）上f'（x）＜0，
故f（x）的单调递增区间是（0，2），
单调递减区间是（2，+∞）．
②当 时， ，
在区间（0，2）和 上，f'（x）＞0；
在区间 上f'（x）＜0，
故f（x）的单调递增区间是（0，2）和 ，单调递减区间是
③当 时， ，故f（x）的单调递增区间是（0，+∞）．
④当 时， ，在区间 和（2，+∞）上，f'（x）＞0；
在区间 上f'（x）＜0，
故f（x）的单调递增区间是 和（2，+∞），单调递减区间是 ．
（Ⅲ）由已知，在（0，2]上有f（x）max＜g（x）max ．
由已知，g（x）max=0，由（Ⅱ）可知，
①当 时，f（x）在（0，2]上单调递增，
故f（x）max=f（2）=2a﹣2（2a+1）+2ln2=﹣2a﹣2+2ln2，
所以，﹣2a﹣2+2ln2＜0，解得a＞ln2﹣1，
故 ．
②当 时，f（x）在 上单调递增，
在 上单调递减，
故 ．
由 可知 ，
2lna＞﹣2，﹣2lna＜2，
所以，﹣2﹣2lna＜0，f（x）max＜0，
综上所述，a＞ln2﹣1．
【解析】（Ⅰ）由函数 ，知 （x＞0）．由曲线y=f（x）在x=1和x=3处的切线互相平行，能求出a的值．（Ⅱ） （x＞0）．根据a的取值范围进行分类讨论能求出f（x）的单调区间．（Ⅲ）对任意x1∈（0，2]，均存在x2∈（0，2]，使得f（x1）＜g（x2），等价于在（0，2]上有f（x）max＜g（x）max ． 由此能求出a的取值范围．