Question

若数列A_n：a₁，a₂，…a_n（n≥2）满足|a_k+1-a_k|=1，（k=1，2，…，n-1），则称A_n为E数列，
（Ⅰ）写出满足a₁=a₅=0的所有E数列A₅；
（Ⅱ）若a₁=13，n=2000，求证：若A_n是递增数列，则a_n=2012；反之亦成立．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）根据题意，a₁=a₅=0，a₂=±1，a₄=±1，再根据|a_k+1-a_k|=1求出a₃=0，可以得出符合题设的E数列A₅；
（Ⅱ）从必要性入手，由单调性可以去掉绝对值符号，可得是A_n公差为1的等差数列，再证充分性，由递增数列的性质得出不等式，再利用同向不等式的累加，可得a_k+1-a_k=1＞0，A_n是递增数列．
解答：解：（Ⅰ）∵数列E数列A_n满足|a_k+1-a_k|=1，
∴满足a₁=a₅=0的所有E数列A₅四个：①0，1，0，1，0；
②0，-1，0，-1，0；③0，-1，0，1，0；④0，1，0，-1，0．
（Ⅱ）∵E数列A_n是递增数列，∴a_k+1-a_k=1（k=1，2，…，1999），
∵a₁=13，n=2000，
∴A_n是首项为13，公差为1的等差数列，
∴a₂₀₀₀=13+（2000-1）×1=2012．
反之：由于a₂₀₀₀-a₁₉₉₉≤1，
a₁₉₉₉-a₁₉₉₈≤1，
…
a₂-a₁≤1，
所以a₂₀₀₀-a₁≤1999，即a₂₀₀₀≤a₁+1999，
又因为a₁=13，a₂₀₀₀=2012，
所以a₂₀₀₀≤a₁+1999．
故a_k+1-a_k=1＞0（k=1，2，…，1999），即A_n是递增数列．
综上所述，若A_n是递增数列，则a_n=2012；反之亦成立．
点评：本题以数列为载体，考查了不等式的运用技巧，属于难题，将题中含有绝对值的等式转化为不等式是解决此题的关键．