Question

20．已知函数D（x）=$\left\{\begin{array}{l}1\\ 0\end{array}\right.\begin{array}{l}{\;}&{x为有理数}\\{\;}&{x为无理数}\end{array}$，则（　　）

• A． D（D（x））=1，0是D（x）的一个周期
• B． D（D（x））=1，1是D（x）的一个周期
• C． D（D（x））=0，1是D（x）的一个周期
• D． D（D（x））=0，D（x）的最小正周期不存在

Answer 1

分析 根据定义，结合函数值之间的关系以及函数周期性的定义进行判断即可．

解答 解：若x为有理数，D（D（x））=D（1）=1，
若x为无理数，D（D（x））=D（0）=1，
综上D（D（x））=1，排除C，D．
根据函数的周期性的定义，周期不可能是0，故A错误，
若x为有理数，D（x+1））=1，D（x）=1，则D（x+1）=D（x），
若x为无理数，D（x+1））=0，D（x）=0，则D（x+1）=D（x），
综上D（x+1）=D（x），
即1是函数D（x）的一个周期，
故选：B

点评 本题主要考查命题的真假判断，涉及函数值的计算以及函数周期的求解，根据条件和定义是解决本题的关键．