Question

f（x）是定义在（0，+∞）上的减函数，满足f（x）+f（y）=f（x•y）．
（1）求证：f（x）-f（y）=f（

x

y

）；
（2）若f（4）=-4，解不等式f（1）-f（

1

x-8

）≥-8．

Answer 1

考点：抽象函数及其应用,函数解析式的求解及常用方法

专题：函数的性质及应用

分析：（1）根据f（x）+f（y）=f（xy），将x代换为

x

y

，代入恒等式中，即可证明；
（2）再利用f（x）是定义在（0，+∞）上的减函数，即可列出关于x的不等式，求解不等式，即可得到不等式的解集．

解答： 解：（1）证明：∵f（x）+f（y）=f（xy），
将x代换为

x

y

，则有f(

x

y

)+f(y)=f(

x

y

•y)=f(x)，
∴f（x）-f（y）=f（

x

y

）；
（2）∵f（x）+f（y）=f（xy），
∴-8=（-4）+（-4）=f（4）+f（4）=f（16），
而由第（1）问知f(1)-f(

1

x-8

)=f(

1

1 x-8

)=f(x-8)
∴不等式f（1）-f（

1

x-8

）≥-8可化为f（x-8）≥f（16）．
∵f（x）是定义在（0，+∞）上的减函数，
∴x-8≤16且x-8＞0，∴8＜x≤24
故不等式的解集是{x|8＜x≤24}．

点评：本题考查了抽象函数及其应用，考查了利用赋值法求解抽象函数问题，解决本题的关键是综合运用函数性质把抽象不等式化为具体不等式，也就是将不等式进行合理的转化，利用单调性去掉“f”．属于中档题．