Question

9．已知函数f（x）=$\sqrt{3}$sin$\frac{x}{3}$-cos$\frac{x}{3}$．
（1）求函数f（x）的对称轴方程及相邻两条对称轴间的距离d；
（2）设α、β∈[0，$\frac{π}{2}$]，f（3α+$\frac{π}{2}$）=$\frac{10}{13}$，f（3β+2π）=$\frac{6}{5}$，求cos（α+β）的值．

Answer 1

分析 （1）化简函数f（x）的解析式，利用正弦函数的图象性质求出f（x）图象的对称轴方程以及相邻两条对称轴间的距离d；
（2）由题意求出sinα、cosα和cosβ、sinβ的值，再计算cos（α+β）的值．

解答 解：（1）∵f（x）=$\sqrt{3}$sin$\frac{x}{3}$-cos$\frac{x}{3}$=2sin（$\frac{x}{3}$-$\frac{π}{6}$）；
令$\frac{x}{3}$-$\frac{π}{6}$=kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，
解得x=3kπ+2π，k∈Z，
∴f（x）图象的对称轴方程是x=3kπ+2π，k∈Z；
且相邻两条对称轴间的距离d=（3π+2π）-2π=3π；
（2）由α、β∈[0，$\frac{π}{2}$]，f（3α+$\frac{π}{2}$）=2sinα=$\frac{10}{13}$，
∴sinα=$\frac{5}{13}$，cosα=$\frac{12}{13}$；
f（3β+2π）=2sin（β+$\frac{π}{2}$）=2cosβ=$\frac{6}{5}$，
∴cosβ=$\frac{3}{5}$，sinβ=$\frac{4}{5}$；
∴cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ=$\frac{12}{13}$×$\frac{3}{5}$-$\frac{5}{13}$×$\frac{4}{5}$=$\frac{16}{65}$．

点评 本题考查了正弦函数的图象与性质的应用问题，也考查了同角的三角函数关系与两角和的余弦公式应用问题．