Question

如图，在斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧面AA₁B₁B⊥底面ABC，侧棱AA₁与底面ABC成60°的角，AA₁=2．底面ABC是边长为2的正三角形，其重心为G点，E是线段BC₁上一点，且BE=

1

3

BC₁．
（1）求证：GE∥侧面AA₁B₁B；
（2）求平面B₁GE与底面ABC所成锐二面角的正切值；
（3）在直线AG上是否存在点T，使得B₁T⊥AG？若存在，指出点T的位置；若不存在，说明理由．

Answer 1

考点：与二面角有关的立体几何综合题,平面与平面平行的判定

专题：空间角

分析：（1）由已知条件推导出∠A₁AB=60°，AO⊥底面ABC．以O为原点建立空间直角坐标系O-xyz，利用向量法能证明GE∥侧面AA₁B₁B．
 （2）分别求出平面B₁GE的法向量和底面ABC的一个法向量，由此利用向量法能求出平面B₁GE与底面ABC成锐二面角的正切值．
（3）由

AG

=(

3

3

，1，0)，设

AT

=λ

AG

=（

3

3

λ，λ，0），

B1T

=

B1A

+

AT

=（

3

3

λ，λ-3，-

3

），利用向量法能求出存在T在AG延长线上，使得B₁T⊥AG．

解答： （1）证明：∵侧面AA₁B₁B⊥底面ABC，
侧棱AA₁与底面ABC成60°的角，∴∠A₁AB=60°，
又AA₁=AB=2，取AB的中点O，则AO⊥底面ABC．
以O为原点建立空间直角坐标系O-xyz如图，
则A（0，-1，0），B（0，1，0），C（

3

，0，0），A1(0，0，

3

)，
B1(0，2，

3

)，C1(

3

，1，

3

)．
∵G为△ABC的重心，∴G（

3

3

，0，0）．
∵

BE

=

1

3

BC1

，∴E（

3

3

，1，

3

3

），
∴

CE

=(0，1，

3

3

)=

1

3

AB1

．又GE不包含于侧面AA₁B₁B，
∴GE∥侧面AA₁B₁B．…（6分）
 （2）解：设平面B₁GE的法向量为

n

=(x，y，z)，
则由

n • B1E =0 n • GE =0

，得

3 3 x-y- 2 3 3 z=0 y+ 3 3 z=0

，
取x=

3

，得

n

=(

3

，-1，

3

)，
又底面ABC的一个法向量为

m

=（0，0，1），
设平面B₁GE与底面ABC所成锐二面角的大小为θ，
则cosθ=|cos＜

n

，

m

＞|=

3

7

=

21

7

．
由于θ为锐角，∴sinθ=

1-( 21 7 )2

=

2 7

7

，
∴tanθ=

2 7 7

21 7

=

2 3

3

．
故平面B₁GE与底面ABC成锐二面角的正切值为

2 3

3

．
（3）解：

AG

=(

3

3

，1，0)，
设

AT

=λ

AG

=（

3

3

λ，λ，0），

B1T

=

B1A

+

AT

=（

3

3

λ，λ-3，-

3

），
由B₁T⊥AG，∴

B1T

•

AG

=

1

3

λ+λ-3=0，解得λ=

9

4

，
∴存在T在AG延长线上，|AT|=

9

4

|AG|=

3

2

|AF|=

3 3

2

．
∴在直线AG上是存在点T，使得B₁T⊥AG．…（12分）

点评：本题考查直线与平面平行的证明，考查平面与底面所成的二面角的正切值的求法，考查满足条件的点是否存在的判断，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．