Question

8．销售甲、乙两种商品所得利润分别是P（单位：万元）和Q（单位：万元），它们与投入资金t（单位：万元）的关系有经验公式P=$\frac{1}{5}$t，Q=$\frac{3}{5}\sqrt{t}$．今将3万元资金投入经营甲、乙两种商品，其中对甲种商品投资x（单位：万元），
（1）试建立总利润y（单位：万元）关于x的函数关系式；
（2）当对甲种商品投资x（单位：万元）为多少时？总利润y（单位：万元）值最大．

Answer 1

分析 （1）通过设出甲投资以及乙投资的数目，设立函数表达式，根据函数式直接写出定义域；
（2）对于（1）中的函数解析式，利用换元法转化成一个二次函数的形式，最后结合二次函数的最值求法得出函数的最大值，从而解决问题．

解答 解：（1）$y=\frac{1}{5}x+\frac{3}{5}\sqrt{3-x}$（0≤x≤3）…6分
（2）设$\sqrt{3-x}=t$，x=3-t²，因为0≤x≤3，所以$0≤t≤\sqrt{3}$，…8分$y=\frac{1}{5}（3-{t^2}）+\frac{3}{5}t=-\frac{1}{5}{t^2}+\frac{3}{5}t+\frac{3}{5}=-\frac{1}{5}{（t-\frac{3}{2}）^2}+\frac{21}{20}$.$（0≤t≤\sqrt{3}）$…12分
当$t=\frac{3}{2}$时，即 $x=\frac{3}{4}$时，${y_{max}}=\frac{21}{20}$．…13分
答：应甲种商品投资$\frac{3}{4}$万元，对乙种商品投资$\frac{9}{4}$万元时，总利润最大，最大值为$\frac{21}{20}$万元．…14分．

点评 本题考查函数模型的选择与应用，通过对实际问题的分析，构造数学模型从而解决问题．需要对知识熟练的掌握并应用，属于基础题．