Question

18．如图，在正方体ABCD-A'B'C'D'中，点P在线段AD'上，且AP≤$\frac{1}{2}$AD'则异面直线CP与BA'所成角θ的取值范围是[$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$]．

Answer 1

分析 如图，连结CD'，则异面直线CP与BA'所成的角θ等于∠D'CP，由图可知，当P点与A点重合时，可得θ=$\frac{π}{3}$．当P点无限接近D'点时，θ趋近于0，由于AP≤$\frac{1}{2}$AD'，故得P在AD'中点时，θ最小，即可得到范围．

解答 解：如图，ABCD-A'B'C'D'是正方体，连结CD'，则异面直线CP与BA'所成的角θ等于∠D'CP，
由图可知，当P点与A点重合时，可得θ=$\frac{π}{3}$．
当P点无限接近D'点时，θ趋近于0，
∵AP≤$\frac{1}{2}$AD'，故得P在AD'中点时，θ最小，
设正方体的边长为1，则AD'=$\sqrt{2}$，CD'=$\sqrt{2}$，PC=$\frac{\sqrt{6}}{2}$
AP=$\frac{1}{2}$AD'=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
即：$cosθ=\frac{D′{C}^{2}+C{P}^{2}-D′{P}^{2}}{2D′C•CP}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$
∴$θ=\frac{π}{6}$．
所以异面直线CP与BA'所成角θ的取值范围是[$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$]．
故答案为：[$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$]．

点评 本题考查了空间动点的变化，异面直线所成角的问题．找到所成的角，当P点移动是，观察角的变化情况．属于中档题．