Question

13．已知f（x）=$\frac{a•{2}^{x}+a+2}{{2}^{x}+1}$（x∈R），若f（x）满足f（-x）=-f（x）．
（1）求实数a的值；
（2）证明f（x）是R上的单调减函数（定义法）．

Answer 1

分析 （1）由题意可得函数f（x）为奇函数，故有f（0）=0，求得a=-1，可得f（x）的解析式．
（2）在R任取两个实数x₁和x₂，且x₁＜x₂，证明f（x₁）＞f（x₂），即可证得f（x）在R上单调递减．

解答 解：（1）∵f（x）=$\frac{a•{2}^{x}+a+2}{{2}^{x}+1}$（x∈R），若f（x）满足f（-x）=-f（x），故函数f（x）为奇函数，
故有f（0）=0，即$\frac{2a+2}{2}$=0，∴a=-1，f（x）=$\frac{1{-2}^{x}}{1{+2}^{x}}$=-$\frac{{2}^{x}+1-2}{{2}^{x}+1}$=-1+$\frac{2}{{2}^{x}+1}$．
（2）在R上任取两个数x₁、x₂，且x₁＜x₂，
 f（x₁）-f（x₂）=（-1+$\frac{2}{{2}^{{x}_{1}}+1}$）-（-1+$\frac{2}{{2}^{{x}_{2}}+1}$）=$\frac{2•{（2}^{{x}_{2}}{-2}^{{x}_{1}}）}{{（2}^{{x}_{1}}+1）•{（2}^{{x}_{2}}+1）}$，
∵x₁＜x₂，∴0＜${2}^{{x}_{1}}$＜${2}^{{x}_{2}}$，∴${2}^{{x}_{2}}$-${2}^{{x}_{1}}$＞0，${2}^{{x}_{1}}$+1＞0，${2}^{{x}_{2}}$+1＞0，
∴$\frac{2•{（2}^{{x}_{2}}{-2}^{{x}_{1}}）}{{（2}^{{x}_{1}}+1）•{（2}^{{x}_{2}}+1）}$＞0，∴f（x₁）-f（x₂）＞0，即 f（x₁）＞f（x₂），
故函数f（x）在R上单调递减．

点评 本题主要考查函数的奇偶性的定义和性质，用定义证明函数的单调性，属于基础题．