Question

20．从一批有10个合格品与3个次品的产品中，一件一件地抽取产品，设各个产品被抽取到的可能性相同．在下列三种情况下，分别求出直到取出合格品为止时所需抽取次数x的分布列．
（1）每次取出的产品都不放回此批产品中；
（2）每次取出的产品都立即放回此批产品中，然后再取出一件产品；
（3）每次取出一件产品后总以一件合格品放回此批产品中．

Answer 1

分析 （1）X的取值为1，2，3，4，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列．
（2）X的取值为1，2，3，…，n，…，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列．
（3）X的取值为1，2，3，4，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列．

解答 解：（1）X的取值为1，2，3，4．
当X=1时，只取一次就取到合格品，
∴P（X=1）=$\frac{10}{13}$；
当X=2时，即第一次取到次品，而第二次取取到合格品，
∴P（X=2）=$\frac{3}{13}×\frac{10}{12}=\frac{5}{26}$；
类似地有：
P（X=3）=$\frac{3}{13}×\frac{2}{12}×\frac{10}{11}=\frac{5}{143}$，
P（X=4）=$\frac{3}{13}×\frac{2}{12}×\frac{1}{11}×\frac{10}{10}=\frac{1}{286}$，
∴X的分布列为：

X	1	2	3	4
P	$\frac{10}{13}$	$\frac{5}{26}$	$\frac{5}{143}$	$\frac{1}{286}$

…（4分）
（2）X的取值为1，2，3，…，n，…．
当X=1时，只取一次就取到合格品，∴P（X=1）=$\frac{10}{13}$；
当X=2时，即第一次取到次品，而第二次取取到合格品，∴P（X=2）=$\frac{3}{13}×\frac{10}{13}$；
当X=3时，即第一、二次均取到次品，而第三次取取到合格品，
∴P（X=3）=$\frac{3}{13}×\frac{3}{13}×\frac{10}{13}$；
类似地当X=n时，即前n-1次均取到次品，而第n次取到合格品，
∴P（X=n）=（$\frac{3}{13}$）^n-1×$\frac{10}{13}$，n=1，2，3，…
∴X的分布列为：

X	1	2	3	…	n	…
P	$\frac{10}{13}$	$\frac{3}{13}×\frac{10}{13}$	$（\frac{3}{13}）^{2}×\frac{10}{13}$	…	$（\frac{3}{13}）^{n-1}×\frac{10}{13}$	…

…（10分）
（3）X的取值为1，2，3，4．
当X=1时，只取一次就取到合格品，∴P（X=1）=$\frac{10}{13}$；
当X=2时，即第一次取到次品，而第二次取取到合格品，注意第二次取时，这批产品有11个合格品，2个次品，
∴P（X=2）=$\frac{3}{13}×\frac{11}{13}=\frac{33}{{{{13}^2}}}$；
类似地，P（X=3）=$\frac{3}{13}×\frac{2}{13}×\frac{12}{13}=\frac{72}{{{{13}^3}}}$；
P（X=4）=$\frac{3}{13}×\frac{2}{13}×\frac{1}{13}×\frac{13}{13}=\frac{6}{{{{13}^3}}}$，
∴ξ的分布列为：

X	1	2	3	4
P	$\frac{10}{13}$	$\frac{33}{1{3}^{2}}$	$\frac{72}{1{3}^{3}}$	$\frac{6}{1{3}^{3}}$

…（16分）

点评 本题考查离散型随机变量的分布列的求法，是中档题，在历年高考中都是必考题型之一．