Question

14．设F₁，F₂为双曲线$\frac{{x}^{2}}{4}-{y}^{2}$=1的两个焦点，P是双曲线上任意一点，且∠F₁PF₂=60°，则△PF₁F₂的面积是（　　）

• A． 2$\sqrt{3}$
• B． $\sqrt{3}$
• C． $\frac{2\sqrt{3}}{3}$
• D． 3$\sqrt{3}$

Answer 1

分析 由题意可得F₁ （-$\sqrt{5}$，0），F₂（$\sqrt{5}$，0），由余弦定理可得PF₁•PF₂，由S=$\frac{1}{2}$PF₁•PF₂sin60°，求得△F₁PF₂的面积即为所求．

解答 解：由题意可得双曲线$\frac{{x}^{2}}{4}$-y²=1，a=2，b=1，
c=$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
得F₁ （-$\sqrt{5}$，0），F₂（$\sqrt{5}$，0），
又F₁F₂²=20，|PF₁-PF₂|=4，
由余弦定理可得：
F₁F₂²=PF₁²+PF₂²-2PF₁•PF₂cos60°
=（PF₁-PF₂）²+PF₁•PF₂=16+PF₁•PF₂=20，
∴PF₁•PF₂=4，
∴△F₁PF₂的面积S=$\frac{1}{2}$PF₁•PF₂sin60°=$\frac{1}{2}$×4×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\sqrt{3}$，
故选：B．

点评 本题考查双曲线的定义和标准方程，余弦定理，以及双曲线的简单性质的应用，求出PF₁•PF₂的值，是解题的关键．