Question

9．已知圆x²+y²-x-6y+m=0与直线2x+y-3=0交于M、N两点，O为坐标原点，文是否存在实数m，使OM⊥ON，若存在，求出m的值若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 设出M，N的坐标，根据OM⊥ON可推断出 $\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{ON}$=0，把M，N坐标代入求得关系式，把直线方程与圆的方程联立消去y，利用韦达定理表示出x_M+x_N和x_M•x_N，利用直线方程求得y_M•y_NN的表达式，最后联立方程求得m，利用判别式验证成立，答案可得．

解答 解：设点M（x_M，y_M），N（x_N，y_N）
当OM⊥OM时，K_oM•K_ON=-1⇒x_Mx_N+y_My_N=0（1）
又直线与圆相交于P、Q⇒$\left\{\begin{array}{l}{2x+y-3=0}\\{{x}^{2}{+y}^{2}-x-6y+m=0}\end{array}\right.$的根是M、N坐标
⇒是方程5x²-x+m-9=0的两根
有：x_M+x_N=$\frac{1}{5}$，x_M•x_N=$\frac{m-9}{5}$，
又M、N在直线2x+y-3=0上，则y_M•y_N=（3-2x_M）•（3-2x_N）=9-6（x_M+x_N）+4x_M•x_N，
∴$\frac{m-9}{5}$+$\frac{4（m-9）}{4}$-6×$\frac{1}{5}$+9=0，解得：m=$\frac{6}{5}$，且检验△＞O成立，
故存在m=$\frac{6}{5}$，使OM⊥ON．

点评 本题主要考查了圆的方程的综合运用．本题的最后对求得的结果进行验证是不可或缺的步骤，保证了结果的正确性．