Question

20．已知数列{a_n}的通项公式为a_n=pⁿ+q（p，q∈R），且a₁=-$\frac{1}{2}$，a₂=-$\frac{3}{4}$．
（1）求{a_n}的通项公式；
（2）-$\frac{255}{256}$是否为数列{a_n}中的项，若是，是第几项？若不是请说明理由．
（3）该数列是递增数列还是递减数列？

Answer 1

分析 （1）由a_n=pⁿ+q，a₁=-$\frac{1}{2}$，a₂=-$\frac{3}{4}$，可得$\left\{\begin{array}{l}{p+q=-\frac{1}{2}}\\{{p}^{2}+q=-\frac{3}{4}}\end{array}\right.$，解出即可得出{a_n}的通项公式．
（2）令a_n=-$\frac{255}{256}$，即（$\frac{1}{2}$）ⁿ-1=-$\frac{255}{256}$，解出n即可得出．
（3）由于a_n=（$\frac{1}{2}$）ⁿ-1，且（$\frac{1}{2}$）ⁿ随n的增大而减小，即可得出单调性．

解答 解：（1）∵a_n=pⁿ+q，
又a₁=-$\frac{1}{2}$，a₂=-$\frac{3}{4}$，∴$\left\{\begin{array}{l}{p+q=-\frac{1}{2}}\\{{p}^{2}+q=-\frac{3}{4}}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{p=\frac{1}{2}}\\{q=-1}\end{array}\right.$．
因此{a_n}的通项公式是a_n=（$\frac{1}{2}$）ⁿ-1．
（2）令a_n=-$\frac{255}{256}$，即（$\frac{1}{2}$）ⁿ-1=-$\frac{255}{256}$，
∴（$\frac{1}{2}$）ⁿ=$\frac{1}{256}$，n=8．故-$\frac{255}{256}$是{a_n}中的第8项．
（3）由于a_n=（$\frac{1}{2}$）ⁿ-1，且（$\frac{1}{2}$）ⁿ随n的增大而减小，
因此a_n的值随n的增大而减小，故{a_n}是递减数列．

点评 本题考查了递推关系、数列的通项公式、数列的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．