Question

已知函数f（x）=x²+|x-a|+1，a∈R．
（1）若f（0）≥2，求a的取值范围；
（2）若-

1

2

≤a≤

1

2

，求f（x）的最小值．

Answer 1

考点：二次函数的性质

专题：函数的性质及应用

分析：（1）将x=0代入得：f（0）=|a|+1≥2，即|a|≥1，解得a的取值范围；
（2）分当x≤a时和当x＞a时两种情况，结合二次函数的图象和性质，分别讨论f（x）的最小值，最后综合讨论结果，可得答案．

解答： 解：（1）∵f（x）=x²+|x-a|+1，
∴f（0）=|-a|+1=|a|+1≥2，
即|a|≥1，
解得a∈（-∞，-1]∪[1，+∞），
即a的取值范围为（-∞，-1]∪[1，+∞），
（2）解：当x≤a时，f（x）=（x-

1

2

）²+a+

3

4

．
∵a≤

1

2

，函数f（x）在（-∞，a]上单调递减．
从而函数f（x）在（-∞，a]上的最小值为f（a）=a²+1；
当x＞a时，函数f（x）=（x+

1

2

）²-a+

3

4

．
∵a≥-

1

2

时，函数f（x）在[a，+∞）上单调递减，
从而函数f（x）在[a，+∞）上的最小值为f（a）=a²+1．
综上所述，当-

1

2

≤a≤

1

2

时，f（x）的最小值为a²+1．

点评：题考查了学生分类讨论的思想，还考查了绝对值函数的对绝对值的讨论及二次函数在定义域下求最值．