Question

15．已知向量$\overrightarrow m=（asinx+cosx，1），\overrightarrow n=（cosx，-\frac{1}{2}）$，函数f（x）=$\overrightarrow m•\overrightarrow n$的图象的一条对称轴为直线x=$\frac{π}{6}$．
（1）求a的值；
（2）求函数f（x）的单调增区间；
（3）作出函数f（x）在x∈[0，π]上的图象简图（列表，画图）．

Answer 1

分析 （1）由题意可得f（0）=f（$\frac{π}{3}$），即 $\frac{1}{2}$=$\frac{a}{2}$sin2（$\frac{π}{3}$）+$\frac{1}{2}$cos2（$\frac{π}{3}$），由此求得a的值．
（2）先求出f（x）的解析式，由2k$π-\frac{π}{2}$≤≤2k$π+\frac{π}{2}$，k∈Z，可解得函数f（x）的单调增区间；
（3）利用列表、描点、连线，画出函数f（x）在x∈[0，π]上的图象即可．

解答 解：（1）∵$\overrightarrow m=（asinx+cosx，1），\overrightarrow n=（cosx，-\frac{1}{2}）$，
∴f（x）=$\overrightarrow m•\overrightarrow n$=asinxcosx+cos²x-$\frac{1}{2}$=$\frac{a}{2}$sin2x+$\frac{1}{2}$cos2x，
∵函数f（x）=$\overrightarrow m•\overrightarrow n$的图象的一条对称轴为直线x=$\frac{π}{6}$．
∴f（0）=f（$\frac{π}{3}$），
∴$\frac{1}{2}$=$\frac{a}{2}$sin2（$\frac{π}{3}$）+$\frac{1}{2}$cos2（$\frac{π}{3}$），
∴a=$\sqrt{3}$．-----------------------（4分）
（2）∵由（1）可得f（x）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x+$\frac{1}{2}$cos2x=sin（2x+$\frac{π}{6}$），
∴由2k$π-\frac{π}{2}$≤≤2k$π+\frac{π}{2}$，k∈Z，
可解得函数f（x）的单调增区间为：[k$π-\frac{π}{3}$，kπ+$\frac{π}{6}$]，k∈Z．-----------------------（8分）
（3）列表---------------------------------------------（10分）

x	0	$\frac{π}{6}$	$\frac{5π}{12}$	$\frac{2π}{3}$	$\frac{11π}{12}$	π
2x+$\frac{π}{6}$	$\frac{π}{6}$	$\frac{π}{2}$	π	$\frac{3π}{2}$	2π	$\frac{13π}{6}$
f（x）	$\frac{1}{2}$	1	0	-1	0	$\frac{1}{2}$

描点连续可得f（x）在x∈[0，π]上的图象简图如下图所示．

点评 本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，也考查了五点法画正弦函数图象的应用问题，是基础题目．