Question

【题目】如图，在四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，SA⊥底面ABCD，SA=SB，点M是SD的中点，AN⊥SC，且交SC于点N．

（1）求证：SC⊥平面AMN；
（2）求二面角D﹣AC﹣M的余弦值．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵在四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，SA⊥底面ABCD，

∴以A为坐标原点，AD为x轴，AB为y轴，AS为z轴，建立空间直角坐标系，

由SA=AB，设AB=AD=AS=1，

则A（0，0，0），B（0，1，0），C（1，1，0），D（1，0，0），S（0，0，1），M（ ，0， ），

=（ ,0, ）， =（﹣1，﹣1，1），

=﹣ + =0，∴ ，

∴SC⊥⊥AM，

又SC⊥AN，且AN∩AM=A，

∴SC⊥平面AMN

（2）解：∵SA⊥底面ABCD，∴ 是平面ABCD的一个法向量，且 =（0，0，1），

设平面ACM的法向量为 =（x，y，z），

=（1，1，0）， =（ ,0, ），

则 ，取x=﹣1，得 =（﹣1，1，1），

cos＜ , ＞= = = ，

由图形知二面角D﹣AC﹣M为锐二面角，

∴二面角D﹣AC﹣M的余弦值为

【解析】（1）以A为坐标原点，AD为x轴，AB为y轴，AS为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明SC⊥平面AMN．（2）求出平面ABCD的一个法向量和平面ACM的法向量，利用向量法能求出二面角D﹣AC﹣M的余弦值．
【考点精析】认真审题，首先需要了解直线与平面垂直的判定(一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直；注意点：a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视；b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想)．