Question

9．在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C：ρ²-4ρcosθ+1=0，直线l：$\left\{\begin{array}{l}{x=4+tsinα}\\{y=tcosα}\end{array}\right.$（t为参数，0≤α＜π）．
（1）求曲线C的参数方程；
（2）若直线l与曲线C相切，求直线l的倾斜角及切点坐标．

Answer 1

分析 （1）由曲线C的极坐标方程，求出曲线C的直角坐标方程，得到曲线C是以C（2，0）为圆心，以r=$\sqrt{3}$为半径的圆，由此能求出曲线C的参数方程．
（2）直线l消去参数t，得直线l的直角坐标方程为：cosαx-sinαy-4cosα=0．由直线l与曲线C相切，知圆心C（2，0）到直线l的距离d等于圆半径r，由此能求出结果．

解答 解：（1）∵曲线C：ρ²-4ρcosθ+1=0，
∴曲线C的直角坐标方程为x²+y²-4x+1=0，即（x-2）²+y²=3，
∴曲线C是以C（2，0）为圆心，以r=$\sqrt{3}$为半径的圆，
∴曲线C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=2+\sqrt{3}cosθ}\\{y=\sqrt{3}sinθ}\end{array}\right.，（0≤θ＜2π）$．
（2）∵直线l：$\left\{\begin{array}{l}{x=4+tsinα}\\{y=tcosα}\end{array}\right.$（t为参数，0≤α＜π）．
∴消去参数t，得直线l的直角坐标方程为：cosαx-sinαy-4cosα=0．
∵直线l与曲线C相切，∴圆心C（2，0）到直线l的距离d等于圆半径r，
即d=$\frac{|2cosα-4cosα|}{\sqrt{co{s}^{2}α+si{n}^{2}α}}$=2cosα=$\sqrt{3}$，∴cos$α=\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∵0≤α＜π，∴直线l的倾斜角α=$\frac{π}{6}$，
∴直线l的方程为$\sqrt{3}$x-y-4$\sqrt{3}$=0，
联立$\left\{\begin{array}{l}{（x-2）^{2}+{y}^{2}=3}\\{\sqrt{3}x-y-4\sqrt{3}=0}\end{array}\right.$，得x=$\frac{7}{2}$，y=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴切点坐标为（$\frac{7}{2}$，-$\frac{\sqrt{3}}{2}$）．

点评 本题考查曲线的参数方程的求法，考查直线的倾斜角和切点坐标的求法，考查两点间距离公式的应用，是中档题，解题时要认真审题，注意参数方程、直角坐标方程、极坐标方程互化公式的合理运用．