Question

14．已知向量$\overrightarrow a，\overrightarrow b$满足|$\overrightarrow a}|=2，|{\overrightarrow b}$|=2，|$\overrightarrow{b}$|=1，且（$\overrightarrow a+3\overrightarrow b}）⊥（{2\overrightarrow a-\overrightarrow b}$）⊥（2$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$），则$\overrightarrow a，\overrightarrow b$的夹角为（　　）

• A． $\frac{2π}{3}$
• B． $\frac{π}{2}$
• C． $\frac{π}{3}$
• D． $\frac{π}{6}$

Answer 1

分析 根据$（\overrightarrow{a}+3\overrightarrow{b}）⊥（2\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}）$即可得出$（\overrightarrow{a}+3\overrightarrow{b}）•（2\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}）=0$，进行数量积的运算即可求出$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$的值，进而求出$cos＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}＞$的值，从而得出$\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}$的夹角．

解答 解：∵$（\overrightarrow{a}+3\overrightarrow{b}）⊥（2\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}）$；
∴$（\overrightarrow{a}+3\overrightarrow{b}）•（2\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}）$=$2{\overrightarrow{a}}^{2}+5\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}-3{\overrightarrow{b}}^{2}$=$8+5\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}-3=0$；
∴$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}=-1$；
∴$cos＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}＞=\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|}=-\frac{1}{2}$；
∵两向量夹角的取值范围为[0，π]．
∴$\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}$的夹角为$\frac{2π}{3}$．
故选A．

点评 考查向量垂直的充要条件，向量数量积的运算及计算公式，以及向量夹角的余弦公式，向量夹角的范围．