Question

5．将圆的六个等分点分成相同的两组，它们每组三个点构成的两个正三角形除去内部的六条线段后可以形成一个正六角星．如图所示的正六角星的中心为点O，其中x，y分别为点O到两个顶点的向量．若将点O到正六角星12个顶点的向量都写成ax+by的形式，则a+b的最大值为5．

Answer 1

分析 根据题意，画出图形，结合图形，得出求a+b的最大值时﹐只需考虑图中6个顶点的向量即可，分别求出即得结论．

解答 解：欲求a+b的最大值﹐只需考虑右图中6个顶点的向量即可，讨论如下﹔
（1）∵$\overrightarrow{OA}$═$\overrightarrow{x}$﹐∴（a，b）=（1，0）；
（2）∵$\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{OF}+\overrightarrow{FB}=\overrightarrow{y}+3\overrightarrow{x}$，所以（a，b）=（3，1）；
（3）∵$\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OF}+\overrightarrow{FC}=\overrightarrow{\\;y}+2\overrightarrow{x}$，所以（a，b）=（2，1）；
（4）∵$\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{OF}+\overrightarrow{FE}+\overrightarrow{ED}=3\overrightarrow{x}+2\overrightarrow{y}$，所以（a，b）=（3，2）；
（5）∵$\overrightarrow{OE}=\overrightarrow{OF}+\overrightarrow{FE}=\overrightarrow{x}+\overrightarrow{y}$，所以（a，b）=（1，1）；
（6）∵$\overrightarrow{OF}=\overrightarrow{y}$，所以（a，b）=（0，1）；
因此﹐a+b的最大值为3+2=5﹒
故答案为：5﹒

点评 本题考查了平面向量的基本定理的应用问题，也考查了平面向量的坐标表示的应用问题，属于中档题．