Question

6．椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$，过左焦点任作直线l，交椭圆的上半部分于点M，当l的斜率为$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$时，|FM|=$\frac{{4\sqrt{3}}}{3}$．
（1）求椭圆C的方程；
（2）椭圆C上两点A，B关于直线l对称，求△AOB面积的最大值．

Answer 1

分析 （1）根据离心率及弦长构造方程组，求得a，b．
（2）当直线l的斜率k≠0时，可设直线l的方程为：y=k（x+1）（k≠0）
联立直线与椭圆方程，由△＞0得到k，m的关系式，再由对称性求得k，m的关系式，此时k不存在．
当直线l的斜率k=0时，A（x₀，y₀），B（x₀，-y₀） （x₀＞0，y₀＞0）△AOB面积s=$\frac{1}{2}×2{y}_{0}×{x}_{0}={x}_{0}{y}_{0}$． 
由均值不等式求解．

解答 解：（1）依题意∴$M（2-c，\frac{2}{\sqrt{3}}$），∴$\frac{（2-c）^{2}}{{a}^{2}}+\frac{4}{3{b}^{2}}=1$，
又∵$\frac{c}{a}=\frac{1}{\sqrt{3}}，{a}^{2}={b}^{2}+{c}^{2}$，解得a²=3，b²=2．
∴椭圆C的方程为：$\frac{{x}^{2}}{3}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$．
（2）依题意直线l不垂直x轴，
当直线l的斜率k≠0时，可设直线l的方程为：y=k（x+1）（k≠0）
则直线AB的方程为：y=-$\frac{1}{k}x+m$．
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{1}{k}x+m}\\{\frac{{x}^{2}}{3}+\frac{{y}^{2}}{2}=1}\end{array}\right.$，得$（2+\frac{3}{{k}^{2}}）{x}^{2}-\frac{6m}{k}x+3{m}^{2}-6=0$．
$△=（-\frac{6m}{k}）^{2}-4（2+\frac{3}{{k}^{2}}）（3{m}^{2}-6）＞0$，⇒${m}^{2}-2-\frac{3}{{k}^{2}}＜0$…①．
设AB的中点为C，则x_C=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}=\frac{3mk}{2{k}^{2}+3}，{y}_{C}=\frac{2{k}^{2}m}{2{k}^{2}+3}$．
点C在直线l上，∴$\frac{2{k}^{2}m}{2{k}^{2}+3}=k（\frac{3km}{2{k}^{2}+3}+1）$，⇒m=-2k-$\frac{3}{k}$…②
此时${m}^{2}-2-\frac{3}{{k}^{2}}=4{k}^{2}+\frac{6}{{k}^{2}}+4＞0$与①矛盾，故k≠0时不成立．
当直线l的斜率k=0时，A（x₀，y₀），B（x₀，-y₀） （x₀＞0，y₀＞0）
△AOB面积s=$\frac{1}{2}×2{y}_{0}×{x}_{0}={x}_{0}{y}_{0}$．
∵$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{3}+\frac{{{y}_{0}}^{2}}{2}=1≥2\sqrt{\frac{{{x}_{0}}^{2}{{y}_{0}}^{2}}{6}}=\frac{\sqrt{6}}{3}{x}_{0}{y}_{0}$，∴${x}_{0}{y}_{0}≤\frac{\sqrt{6}}{2}$．．
∴△AOB面积的最大值为$\frac{\sqrt{6}}{2}$，当且仅当$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{3}+\frac{{{y}_{0}}^{2}}{2}=\frac{1}{2}$时取等号．

点评 本题考查了椭圆的方程，直线与椭圆的位置关系，方程思想及运算能力，属于中档题．