Question

已知：如图边长为1的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁
（1）求证：直线B₁D₁⊥平面AA₁C₁
（2）求直线AC₁与平面A₁B₁C₁D₁所成角的正切值．
（3）求三棱锥B-A₁C₁D的体积．

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积,直线与平面垂直的判定,直线与平面所成的角

专题：计算题,证明题,空间位置关系与距离

分析：（1）利用线面垂直判定定理；（2）找到平面角，再求正切值；（3）由体积公式求值．

解答： 解：（1）证明：在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中有B₁D₁⊥A₁C₁，
又∵AA₁⊥平面A₁B₁C₁D₁，
∴AA₁⊥B₁D₁，
∴直线B₁D₁⊥平面AA₁C₁
（2）∵AA₁⊥平面A₁B₁C₁D₁，
∴直线AC₁与平面A₁B₁C₁D₁所成角为∠AC₁A₁，
在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，
AA1=1，A1C1=

2

∴tan∠AC1A1=

1

2

=

2

2

（3）VB-A1C 1D=

1

3

×

1

2

DD1×S△A1C 1D=

1

6

×

3

×

1

2

×(

2

)2sin60°=

1

4

点评：本题在正方体中考查了空间中线面的垂直及线面所成角的求法，还有体积公式，属于基础题．