Question

4．已知点F，A是椭圆C：$\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{12}=1$的左焦点和上顶点，若点P是椭圆C上一动点，则△PAF周长的最大值为16．

Answer 1

分析 根据椭圆的定义，丨PF丨+丨PF₂丨=2a=8，丨AF丨+丨AF₂丨=2a=8，则l=丨AF丨+丨PF丨+丨PA丨≤丨AF丨+丨PF丨+丨PF₂丨+丨AF₂丨=4a=16，即可求得△PAF周长的最大值．

解答 解：椭圆C：$\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{12}=1$，a=4，b=2$\sqrt{2}$，c=2，则左焦点（-2，0）和上顶点（0，2$\sqrt{2}$），
则椭圆的右焦点F₂（-2，0），
由椭圆的定义丨PF丨+丨PF₂丨=2a=8，丨AF丨+丨AF₂丨=2a=8，
∴△PAF周长l：l=丨AF丨+丨PF丨+丨PA丨≤丨AF丨+丨PF丨+丨PF₂丨+丨AF₂丨=4a=16，
当且仅当AP过F₂时△PAF周长取最大值，
∴△PAF周长的最大值16，
故答案为：16．

点评 本题考查椭圆的性质及椭圆的定义，考查计算能力，考查数形结合思想，属于中档题．