Question

【题目】如图，在四棱锥中，⊥底面，，，，，点为棱的中点．

(1)（理科生做）证明：；

（文科生做）证明：；

(2)（理科生做）若为棱上一点，满足，求二面角的余弦值．

（文科生做）求点到平面的距离.

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）理，文

【解析】

(1理)可通过以点为原点建立空间直角坐标系，然后确定四点的坐标，最后通过求得出；

(1文)首先可证明四边形是平行四边形，再通过证明平面；

(2理)先求出向量，然后求出平面和平面的法向量，最后求出二面角的余弦值；

(2文)可通过等面积法求出点到平面的距离。

(1理)依题意，以点为原点建立空间直角坐标系(如图)，

可得，

，

由为棱的中点，

得，

向量，，故，

所以.

(1文)取中点，联接

因为是中点，所以且

所以且，四边形是平行四边形

平面，平面，

所以平面；

(2理)向量，，，．

由点在棱上，设，

故

由，得，因此，解得，

即，设为平面的法向量，

则，即，

不妨令，可得平面的一个法向量．

取平面的法向量，则

，

易知，二面角是锐角，所以其余弦值为

(2文)设到平面距离为，

在中， 因为，

所以平面，

所以,在中，

将数据代入得。