Question

【题目】如图，四棱锥中，底面为矩形， 平面， 为的中点.

（1）证明： 平面

（2）已知， ， 求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】(1)证明见解析；(2) .

【解析】试题分析：

(1)以点A为坐标原点，建立空间直角坐标系，设，可得：直线的方向向量为： ，平面的一个法向量为，

结合可得： 平面.

(2)结合(1)的结论结合题意可得平面的一个法向量为.平面的一个法向量为： ，据此计算可得二面角的余弦值为.

试题解析：

(1)以点A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设，

由几何关系有： ，

则直线的方向向量为： ， ，

设平面的法向量，则： ，

据此可得：平面的一个法向量为，

结合可知： ，据此可得： 平面.

(2)结合(1)的结论可知： ，

则平面的一个法向量为.

由平面可知平面的一个法向量为： ，

据此可得： ，

则，

观察可知二面角的平面角为锐角，

故二面角的余弦值为.