Question

16．已知二阶矩阵A=$[{\begin{array}{l}3&5\\ 0&{-2}\end{array}}]$．
（1）求矩阵A的特征值和特征向量；
（2）设向量$\overrightarrow{β}$=$[\begin{array}{l}{1}\\{-1}\end{array}]$，求A²⁰¹⁶$\overrightarrow{β}$．

Answer 1

分析 （1）由矩阵A的特征多项式f（λ），令f（λ）=0，求得特征值，代入二元一次方程组求得其特征向量；
（2）由（1）的结论，向量$\overrightarrow{β}$是属于特征值为-2的一个特征向量，利用特征向量的定义与性质即可求得A²⁰¹⁶$\overrightarrow{β}$．

解答 解：（1）矩阵A的特征多项式f（λ）=λE-A=$[\begin{array}{l}{λ-3}&{-5}\\{0}&{λ+2}\end{array}]$=（λ-3）（λ+2），
令f（λ）=0，解得：λ₁=3，λ₂=-2，
将λ₁=3，代入二元一次方程组得：$\left\{\begin{array}{l}{0×x-5y=0}\\{0×x+5y=0}\end{array}\right.$，解得y=0，
矩阵A属于特征值3的特征向量为$[\begin{array}{l}{1}\\{0}\end{array}]$，
将λ₂=-2，代入二元一次方程组得：$\left\{\begin{array}{l}{-5x-5y=0}\\{0•x+0•y=0}\end{array}\right.$，
当x=1时，y=-1，
∴矩阵A属于特征值-2的特征向量为$[\begin{array}{l}{1}\\{-1}\end{array}]$；
（2）A²⁰¹⁶$\overrightarrow{β}$=${λ}_{2}^{2016}$$[\begin{array}{l}{1}\\{-1}\end{array}]$=$[\begin{array}{l}{{2}^{2016}}\\{-{2}^{2016}}\end{array}]$．
∴A²⁰¹⁶$\overrightarrow{β}$=$[\begin{array}{l}{{2}^{2016}}\\{-{2}^{2016}}\end{array}]$．

点评 本题考查求二阶矩阵的特征值和特征向量，着重考查特征向量的定义，求法及其性质，属于中档题．