Question

20．已知多面体ABCDEFG是由一个平面截长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁所得的几何体，如图所示，其中AB=2BC=2AF=4CG=4．
（1）求BE的长；
（2）求二面角A-EF-B的余弦值．

Answer 1

分析 （1）由勾股定理求出BD，从而能求出BE的长．
（2）以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DE为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角A-EF-B的余弦值．

解答 解：（1）∵多面体ABCDEFG是由一个平面截长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁所得的几何体，
AB=2BC=2AF=4CG=4
∴BD=$\sqrt{A{D}^{2}+A{B}^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}+{4}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
BE=$\sqrt{B{D}^{2}+D{E}^{2}}$=$\sqrt{20+4}$=2$\sqrt{6}$．
（2）以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DE为z轴，建立空间直角坐标系，
E（0，0，2），F（2，0，2），B（2，4，0），
$\overrightarrow{EF}$=（2，0，0），$\overrightarrow{EB}$=（2，4，-2），
设平面BEF的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{EF}=2x=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{EB}=2x+4y-2z=0}\end{array}\right.$，取y=1，则$\overrightarrow{n}$=（0，1，2），
平面AEF的法向量$\overrightarrow{m}$=（0，1，0），
设二面角A-EF-B的平面角为θ，
则cosθ=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{1}{\sqrt{5}}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
∴二面角A-EF-B的余弦值为$\frac{\sqrt{5}}{5}$．

点评 本题考查线段长的求法，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．