Question

20．一个圆的圆心在抛物线y²=4x上，且该圆经过抛物线的顶点和焦点，若圆心在第一象限，圆心到直线ax+y-$\sqrt{2}$=0的距离为$\frac{\sqrt{2}}{4}$，则a=（　　）

• A． 1
• B． -1
• C． ±1
• D． $\frac{3}{2}$

Answer 1

分析 由题意知圆心C也在线段OF的中垂线上，
由此求出圆心，再利用圆心到直线的距离列方程求出a的值．

解答 解：由题意知，抛物线的焦点为F（1，0），圆心在线段OF的中垂线x=$\frac{1}{2}$上，
由$\left\{\begin{array}{l}{{y}^{2}=4x}\\{x=\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，且圆心在第一象限内，
解得x=$\frac{1}{2}$，y=$\sqrt{2}$，
所以圆心C为（$\frac{1}{2}$，$\sqrt{2}$）；
又圆心C到直线ax+y-$\sqrt{2}$=0的距离为$\frac{\sqrt{2}}{4}$，
所以d=$\frac{|\frac{1}{2}a+\sqrt{2}-\sqrt{2}|}{\sqrt{{a}^{2}+1}}$=$\frac{\sqrt{2}}{4}$，
解得a=±1．
故选：C．

点评 本题考查了直线与圆锥曲线的应用问题，是基础题．