Question

设直线y=t与函数f（x）=x 

1

2

，g（x）=e^x的图象分别交于点M，N，则当|MN|达到最小时t的值为（　　）

• A、1
• B、

  1

  2

• C、

  5

  2

• D、

  2

  2

Answer 1

考点：指数函数的定义、解析式、定义域和值域

专题：转化思想,函数的性质及应用,导数的概念及应用

分析：根据题意，求出f（x）的反函数f^-1（x），g（x）的反函数g^-1（x）；
构造函数h（x）=f^-1（x）-g^-1（x），利用导数求出h（x）取得最小值，即|MN|达到最小值时x（即t）的值．

解答： 解：根据题意，∵f（x）=x

1

2

，∴f^-1（x）=x²（x≥0）；
∵g（x）=e^x，∴g^-1（x）=lnx（x≥0）；
设h（x）=f^-1（x）-g^-1（x）=x²-lnx（x≥0），
∴h′（x）=2x-

1

x

=

2x2-1

x

；
令h′（x）=0，解得x=

2

2

；
∴x＞

2

2

时，h′（x）＞0，h（x）是增函数，0＜x＜

2

2

时，h′（x）＜0，h（x）是减函数；
∴x=

2

2

时，h（x）取得最小值，即|MN|达到最小值，此时t=

2

2

．
故选：D．

点评：本题考查了求函数最值的问题，通常利用导数来研究函数的最值，解题的关键是构造函数，确定函数的单调性，从而求出函数的最值，是中档题．