Question

9．函数f（x）是定义在（0，+∞）上的可导函数，f'（x）为其导函数，若x•f'（x）+f（x）=e^x（x-1），且f（2）=0，则不等式f（x）＜0的解集为（　　）

• A． （0，1）
• B． （0，2）
• C． （1，2）
• D． （2，+∞）

Answer 1

分析 构造函数，φ（x）=xf（x），利用导函数的单调性，转化求解不等式的解集即可．

解答 解：函数f（x）是定义在（0，+∞）上的可导函数，f'（x）为其导函数，
令φ（x）=xf（x），则φ′（x）=x•f'（x）+f（x）=e^x（x-1），
可知当x∈（0，1）时，φ（x）是单调减函数，并且0•f'（0）+f（0）=e⁰（0-1）=-1＜0，即f（0）＜0
x∈（1，+∞）时，函数是单调增函数，f（2）=0，
则φ（2）=2f（2）=0，
则不等式f（x）＜0的解集就是xf（x）＜0的解集，
不等式的解集为：{x|0＜x＜2}．
故选：B．

点评 本题考查函数的单调性的应用，不等式的解法，考查转化思想以及计算能力．