Question

1．已知点P为一动点，点A的坐标为（1，$\frac{3}{2}$），点B的坐标为（1，-$\frac{3}{2}$）．两条不同的直线PA、PB与x轴交点的横坐标分别为m、n且满足mn=4，记动点P的轨迹及A，B两点组成曲线C，设过点（0，1）且斜率为k的直线l与曲线C交于不同的两点M，N，线段MN的中点为E点，直线OE与曲线C交于Q、R两点．
（1）求曲线C的方程；
（2）若|EM|•|EN|=λ|EQ|•|ER|，求实数λ的取值范围．

Answer 1

分析 （1）设P（x，y），根据斜率公式列方程解出m，n，从而得出关于x，y的方程，化简即可得出曲线C的方程；
（2）联立方程组消元，根据弦长公式和根与系数的关系求出E点坐标和|EM|EN|，同理得出|EQ||ER|，得出λ关于k的函数，根据k的范围得出λ的范围．

解答 解：（1）设P（x，y），则k_PA=$\frac{y-\frac{3}{2}}{x-1}$=$\frac{-\frac{3}{2}}{m-1}$，k_PB=$\frac{y+\frac{3}{2}}{x-1}$=$\frac{\frac{3}{2}}{n-1}$，
∴m=$\frac{2y-3x}{2y-3}$，n=$\frac{2y+3x}{2y+3}$，
∴mn=$\frac{4{y}^{2}-9{x}^{2}}{4{y}^{2}-9}$=4，即$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}$=1．
∴曲线C的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}$=1．
（2）设直线l的方程为y=kx+1，
联立方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+1}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，消去y得：（3+4k²）x²+8kx-8=0，
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），则x₁+x₂=-$\frac{8k}{3+4{k}^{2}}$，x₁x₂=-$\frac{8}{3+4{k}^{2}}$．
∴|MN|²=（1+k²）[（x₁+x₂）²-4x₁x₂]=（1+k²）[$\frac{64{k}^{2}}{（3+4{k}^{2}）^{2}}$+$\frac{32}{3+4{k}^{2}}$]=$\frac{96（1+{k}^{2}）（1+2{k}^{2}）}{（3+4{k}^{2}）^{2}}$，
∴|EM||EN|=$\frac{1}{4}$|MN|²=$\frac{24（1+{k}^{2}）（1+2{k}^{2}）}{（3+4{k}^{2}）^{2}}$，
∴E（-$\frac{4k}{3+4{k}^{2}}$，$\frac{3}{3+4{k}^{2}}$），∴直线OE的方程为y=-$\frac{3}{4k}x$，
联立方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{3}{4k}x}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，解得Q（$\frac{4k}{\sqrt{3+4{k}^{2}}}$，-$\frac{3}{\sqrt{3+4{k}^{2}}}$），R（-$\frac{4k}{\sqrt{3+4{k}^{2}}}$，$\frac{3}{\sqrt{3+4{k}^{2}}}$），
∴|EQ||EQ|=$\sqrt{1+\frac{9}{16{k}^{2}}}$|$\frac{4k}{\sqrt{3+4{k}^{2}}}$+$\frac{4k}{3+4{k}^{2}}$|•$\sqrt{1+\frac{9}{16{k}^{2}}}$|-$\frac{4k}{\sqrt{3+4{k}^{2}}}$+$\frac{4k}{3+4{k}^{2}}$|=（1+$\frac{9}{16{k}^{2}}$）（$\frac{16{k}^{2}}{（3+4{k}^{2}）^{2}}$-$\frac{16{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}$）=$\frac{2（16{k}^{2}+9）（1+2{k}^{2}）}{（3+4{k}^{2}）^{2}}$．
∴λ=$\frac{|EM||EN|}{|EQ||ER|}$=$\frac{12（1+{k}^{2}）}{16{k}^{2}+9}$=$\frac{3}{4}$+$\frac{21}{4（16{k}^{2}+9）}$，
∵k²≥0，∴$\frac{3}{4}$＜λ≤$\frac{4}{3}$．
∴实数λ的取值范围是（$\frac{3}{4}$，$\frac{4}{3}$]．

点评 本题考查了轨迹方程的求解，直线与椭圆的位置关系，根与系数关系，弦长公式的应用，计算复杂，属于难题．