Question

14．正四面体ABCD中，M是棱AD的中点，O是点A在底面BCD内的射影，则异面直线BM与AO所成角的余弦值为（　　）

• A． $\frac{{\sqrt{2}}}{6}$
• B． $\frac{{\sqrt{2}}}{3}$
• C． $\frac{{\sqrt{2}}}{4}$
• D． $\frac{{\sqrt{2}}}{5}$

Answer 1

分析 取BC中点E，DC中点F，连结DE、BF，则由题意得DE∩BF=O，取OD中点N，连结MN，则MN∥AO，从而∠BMN是异面直线BM与AO所成角（或所成角的补角），由此能求出异面直线BM与AO所成角的余弦值．

解答 解：取BC中点E，DC中点F，连结DE、BF，则由题意得DE∩BF=O，
取OD中点N，连结MN，则MN∥AO，
∴∠BMN是异面直线BM与AO所成角（或所成角的补角），
设正四面体ABCD的棱长为2，由BM=DE=$\sqrt{4-1}=\sqrt{3}$，OD=$\frac{2}{3}DE=\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
∴AO=$\sqrt{4-\frac{4}{3}}$=$\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$，∴MN=$\frac{1}{2}AO=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$，
∵O是点A在底面BCD内的射影，MN∥AO，∴MN⊥平面BCD，
∴cos∠BMN=$\frac{MN}{BM}$=$\frac{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}}{\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{2}}{3}$，
∴异面直线BM与AO所成角的余弦值为$\frac{\sqrt{2}}{3}$．
故选：B．

点评 本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查正四面体、线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，是基础题．