Question

5．若方程x²+ax+2b=0的一个根在（0，1）内，另一个根在（1，2）内，则$\frac{b-a}{a-1}$的取值范围是（-1，-$\frac{1}{2}$）．

Answer 1

分析 设f（x）=x²+ax+2b，根据二次函数的性质与零点存在性定理可得f（0）＞0、f（1）＜0且f（2）＞0．由此建立关于a、b的二元一次不等式组，设点E（a，b）为区域内的任意一点，则$\frac{b-a}{a-1}$=$\frac{b-1}{a-1}$-1，k=$\frac{b-1}{a-1}$，根据直线的斜率公式可得k=$\frac{b-1}{a-1}$，表示D（1，1）、E连线的斜率，将点E在区域内运动并观察直线的倾斜角的变化，即可算出$\frac{b-a}{a-1}$的取值范围．

解答 解：设f（x）=x²+ax+2b，
∵方程x²+ax+2b=0的一个根在区间（0，1）内，另一个根在区间（1，2）内，
∴可得$\left\{\begin{array}{l}{b＞0}\\{a+2b+1＜0}\\{a+b+2＞0}\end{array}\right.$．
作出满足上述不等式组对应的点（a，b）所在的平面区域，
得到△ABC及其内部，即如图所示的阴影部分（不含边界）．
其中A（-3，1），B（-2，0），C（-1，0），

设点E（a，b）为区域内的任意一点，
则$\frac{b-a}{a-1}$=$\frac{b-1}{a-1}$-1，k=$\frac{b-1}{a-1}$，表示点E（a，b）与点D（1，1）连线的斜率
结合图形可知：0＜k＜$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{b-a}{a-1}$的取值范围是（-1，-$\frac{1}{2}$）．
故答案为：（-1，-$\frac{1}{2}$）．

点评 本题给出含有参数a、b的一元二次方程满足的条件，求参数a、b满足的不等式组，并依此求关于a、b式子的取值范围．着重考查了二次函数的性质、零点存在性定理、二元一次不等式组表示的平面区域、直线的斜率公式与两点间的距离公式等知识，属于中档题．