Question

数列{a_n}中，a₁=8，a₄=2，且对任意的n∈N^*满足a_n+2-2a_n+1+a_n=0．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=a_2n-1+a_2n（n=1，2，3，…），问数列{b_n}是否是等差数列？证明你的结论．

Answer 1

考点：数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=a_2n-1+a_2n（n=1，2，3，…），

解答： 解：（1）∵a_n+2-2a_n+1+a_n=0，
∴a_n+2-a_n+1=a_n+1-a_n，则数列{a_n}为等差数列，
∵a₁=8，a₄=2，∴a₄-a₁=3d=8-2=6，
∴d=2，
则数列{a_n}的通项公式a_n=8+2（n-1）=2n+6；
（2）b_n=a_2n-1+a_2n，
则b_n+1-b_n=a_2n+1+a_2n+2-a_2n-1-a_2n=（a_2n+2-a_2n）+（a_2n+1-a_2n-1），
∵数列{a_n}是公差d=2的等差数列，
∴a_2n+2-a_2n=a_2n+1-a_2n-1=2d=4，
∴b_n+1-b_n=（a_2n+2-a_2n）+（a_2n+1-a_2n-1）=4+4=8为常数，
故数列{b_n}是等差数列．

点评：本题主要考查等差数列的通项公式的求解以及等差数列的判断，根据等差数列的定义以及数列的递推关系判断数列{a_n}为等差数列是解决本题的关键．