Question

17．某校要求学生在高中三年级选修3门课程，其中1门人文科学，2门自然科学，已知某学生通过人文科学课程的概率是$\frac{4}{5}$，通过自然科学课程的概率是$\frac{3}{4}$，且各门课程通过与否相互独立．
（Ⅰ）求该学生只通过人文科学课程但没有通过自然科学课程的概率；
（Ⅱ）用ξ表示该学生所选的3门课程通过的门数，求随机变量ξ的概率分布列和数学期望．

Answer 1

分析 （1）记“该同学只通过人文科学课程并没有通过自然科学课程“为事件A，利用相互独立事件概率乘法公式能求出该同学只通过人文科学课程没有通过自然科学课程的概率．
（Ⅱ）随机变量ξ的所有可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列和数学期望．

解答 解：（1）记“该同学只通过人文科学课程并没有通过自然科学课程“为事件A，则 $P（A）=\frac{4}{5}×{（1-\frac{3}{4}）^2}=\frac{1}{20}$，
所以该同学只通过人文科学课程没有通过自然科学课程的概率为$\frac{1}{20}$．…（4分）
（Ⅱ）随机变量ξ的所有可能取值为0，1，2，3，
则$P（{ξ=0}）=（{1-\frac{4}{5}}）×{（{1-\frac{3}{4}}）^2}=\frac{1}{80}$，
$P（{ξ=1}）=\frac{4}{5}×{（{1-\frac{3}{4}}）^2}+（{1-\frac{4}{5}}）×C_2^1×（{1-\frac{3}{4}}）×\frac{3}{4}=\frac{1}{8}$，
$P（{ξ=2}）=\frac{4}{5}×C_2^1×（{1-\frac{3}{4}}）×\frac{3}{4}+（{1-\frac{4}{5}}）×{（{\frac{3}{4}}）^2}=\frac{33}{80}$，
$P（{ξ=3}）=\frac{4}{5}×{（{\frac{3}{4}}）^2}=\frac{9}{20}$，…（9分）
所以ξ的分布列为

ξ	0	1	2	3
P	$\frac{1}{80}$	$\frac{1}{8}$	$\frac{33}{80}$	$\frac{9}{20}$

…（10分）
所以$E（ξ）=0×\frac{1}{80}+1×\frac{1}{8}+2×\frac{33}{80}+3×\frac{9}{20}=\frac{23}{10}$．…（12分）

点评 本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意相互独立事件概率乘法公式的合理运用．