Question

设a＞0，f(x)=

ex

a

+

a

ex

是R上的函数，且满足f（-x）=f（x），x∈R．
（1）求a的值；
（2）证明f（x）在（0，+∞）上是增函数．

Answer 1

考点：函数奇偶性的性质,函数单调性的判断与证明

专题：函数的性质及应用

分析：（1）取x=1，则f（-1）=f（1），化简即可解出．
（2）利用单调递增函数的定义即可证明．

解答： （1）解：取x=1，则f（-1）=f（1），即

e-1

a

+

a

e-1

=

e

a

+

a

e

，
∴

1

ae

+ae=

e

a

+

a

e

，
∴(a-

1

a

)．e+(

1

a

-a)•

1

e

=0，
∴(a-

1

a

)(e-

1

e

)=0． 
∵e-

1

e

≠0，∴a-

1

a

=0．
∴a²=1．
又a＞0，∴a=1．                                         
（2）证明：由（1）知f(x)=ex+

1

ex

． 
 设0＜x₁＜x₂，则f(x1)-f(x2)=(ex1+

1

ex1

)-(ex2+

1

ex2

)
=(ex1-ex2)+

ex2-ex1

ex1•ex2

=(ex1-ex2)(1-

1

ex1ex2

)
=(ex1-ex2)•

ex1+x2-1

ex1+x2

＜0．
∴f（x₁）＜f（x₂）．
∴f（x）在（0，+∞）上是增函数．

点评：本题考查了函数奇偶性与单调性，属于基础题．