Question

13．已知△ABC的内角A、B、C　对应的边分别为a，b，c向量$\overrightarrow{m}$=（$\frac{a}{sin（A+B）}$，c-2b），$\overrightarrow{n}$=（sin2C，1）满足|$\overrightarrow{m}$+$\overrightarrow{n}$|=|$\overrightarrow{m}$-$\overrightarrow{n}$|
（1）求A大小；
（2）若a=1，求△ABC的周长的取值范围．

Answer 1

分析 （1）运用向量的平方即为模的平方可得$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}$=0，再由向量的数量积的坐标表示和二倍角公式、余弦定理，即可得到角A；
（2）可令B=$\frac{π}{3}$+α，C=$\frac{π}{3}$-α，-$\frac{π}{3}$＜α＜$\frac{π}{3}$，运用正弦定理，结合两角和差的正弦公式，化简计算，再由余弦函数的性质，即可得到所求周长的范围．

解答 解：（1）由|$\overrightarrow{m}$+$\overrightarrow{n}$|=|$\overrightarrow{m}$-$\overrightarrow{n}$|可得
（$\overrightarrow{m}$+$\overrightarrow{n}$）²=（$\overrightarrow{m}$-$\overrightarrow{n}$）²，
${\overrightarrow{m}}^{2}$+2$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}$+$\overrightarrow{n}$²=${\overrightarrow{m}}^{2}$-2$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}$+$\overrightarrow{n}$²，
即有$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}$=0，
由向量$\overrightarrow{m}$=（$\frac{a}{sin（A+B）}$，c-2b），$\overrightarrow{n}$=（sin2C，1），
则$\frac{a}{sin（A+B）}$•sin2C+c-2b=0，
即$\frac{a}{sinC}$•2sinC•cosC+c-2b=0，
2a•$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}$+c-2b=0，
b²+c²-a²=bc，
即有cosA=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=$\frac{1}{2}$，
则A=$\frac{π}{3}$；
（2）B+C=π-A=$\frac{2π}{3}$，
可令B=$\frac{π}{3}$+α，C=$\frac{π}{3}$-α，-$\frac{π}{3}$＜α＜$\frac{π}{3}$，
由$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}$=$\frac{1}{sin\frac{π}{3}}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
即有b+c=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$（sinB+sinC）
=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$（sin（$\frac{π}{3}$+α）+sin（$\frac{π}{3}$-α））=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$sin$\frac{π}{3}$cosα
=2cosα∈（1，2]，
则△ABC的周长的取值范围是（2，3]．

点评 本题考查正弦定理和余弦定理的运用，同时考查向量的数量积的坐标表示和性质，二倍角公式和两角和差的正弦公式及余弦函数的性质，属于中档题．