Question

已知a，b为常数，且a≠0，f（x）=ax²+bx，f（2）=0，方程f（x）=x有两个相等实根．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）当x∈[1，2]时，求f（x）的值域；
（3）若F（x）=f（x）-f（-x），试判断F（x）的奇偶性，并证明你的结论．

Answer 1

考点：函数奇偶性的判断,函数的值域,函数解析式的求解及常用方法

专题：函数的性质及应用

分析：（1）把f（2）=0代入解析式，f（x）=x有两个相等实根，即判断式等于零；
（2）根据（1）所求的解析式，判断x∈[1，2]上的单调性，然后求解即可；
（3）根据奇偶函数的定义进行判断和证明．

解答： 解：（1）已知f（x）=ax²+bx，
由f（2）=0，得4a+2b=0，即2a+b=0，①
方程f（x）=x，即ax²+bx=x，
即ax²+（b-1）x=0有两个相等实根，
且a≠0，∴b-1=0，
∴b=1，代入①得a=-

1

2

．
∴f（x）=-

1

2

x²+x．
（2）由（1）知f（x）=-

1

2

（x-1）²+

1

2

．
显然函数f（x）在[1，2]上是减函数，
∴x=1时，y_max=

1

2

；x=2时，y_min=0．
∴x∈[1，2]时，函数的值域是[0，

1

2

]．
（3）∵F（x）=f（x）-f（-x）
=（-

1

2

x²+x）-[-

1

2

x²+（-x）]=2x，
定义域关于原点对称，∴F（x）是奇函数．
证明：∵定义域关于原点对称，
F（-x）=2（-x）=-2x=-F（x），
∴F（x）=2x是奇函数．

点评：本题主要考查函数的奇偶性和二次函数在闭区间上的值域问题，属于中档题．