Question

港口A北偏东30°方向的C处有一观测站，港口正东方向的B处有一轮船，测得BC为31nmile，该轮船从B处沿正西方向航行20nmile后到D处，测得CD为21nmile，此时轮船离港口还有

 

nmile．

Answer 1

考点：余弦定理,正弦定理

专题：解三角形

分析：在△BDC中，先由余弦定理可得，可求cos∠CDB，进而可求sin∠CDB，由三角形的内角和定理可得sin∠ACD=sin（∠CDB-60°），再在△ACD中，由正弦定理得

AD

sin∠ACD

=

CD

sinA

，由此解得AD的值．

解答： 解：由题意可得，BC=31，BD=20，CD=21，A=60°．．
△BCD中，由余弦定理可得cos∠CDB=

DB2+DC2-BC2

2DB•DC

=

212+202-312

2×21×20

=-

1

7

．
可得sin∠CDA=

1-cos2∠CDB

=

4 3

7

．
而sin∠ACD=sin（∠BDC-60°）=sin∠BDCcos60°-cos∠BDCsin60°
=

4 3

7

×

1

2

-（-

1

7

）×

3

2

=

5 3

14

．
在△ACD中，由正弦定理得

AD

sin∠ACD

=

CD

sinA

，解得AD=15（海里），
故答案为：15．

点评：本题主要考查了正弦定理、余弦定理、两角差的正弦公式及三角形的内角和定理在实际中的应用，解决实际的问题的关键是要把题目中所提供的数据转化成数学图形中的长度（角度），然后根据相应的公式来解决问题，属于基础题．